和期权的隐含波动率类似，我们需要假设流动性提供者没有赚到超额利润，进而推理出其金融活动对应的波动率观点。

如果模型能刻画流动性提供者的收入，并且其参数里有波动率，我们就可以尝试推导出该模型下的隐含波动率。

Lambert iv

在 2024 年 11 月，panoptic research 发布了 From CEX to DEX: Comparing Uniswap and Deribit Implied Volatilities^[1] 中给出了详细的推导过程。

最终给出了其隐含波动率公式：

LVR

原版的论文（a16z）^[2]

手续费速率（zelos）^[3]

论文里给出了瞬时 LVR 的公式，我们需要进一步整理推导出 LVR 版本的无常损失。我们只需要让收入「速率」 = 损失「速率」即可。

绝大部分的难点在原版的论文给出的瞬时 LVR。我们只需稍加加工：

论文里给出了 Uniswap V3 的瞬时 LVR 为，K 为头寸的流动性。

我们对其做了归一化处理 ，以及让头寸的价值设定为 $1。

瞬时 LVR 则变为

那么手续费获取速率部分也和  相关。

其中  的意义是 1 单位 的流动性的手续费回报率。

最后我们让「两者手续费获取速度」和「LVR 损失速度」相等，得到：

其中：

•  是普通价格, 如 1234.5678 usdc/eth
• FeeRate 是手续费率
• d0 和 d1 是 token0 和 token1 的 decimal
• Liq 是当前池的总流动性

proof

LVR

目前我们有两个手续费的公式了。其实两者是一样的。 我们先从 LVR 的 iv 进行代换

panoptic

panoptic 这样我们能从代码中整理其数据得到（假设：token1 是 quote token）

如果遵照我们之前的假设，也就是总价值为 1u，而且 token1 是 quote token。所以

合并可知:

拼图的最后一块则是  和价格转换。

带入回去得到：

所以，两者是完全一致的。

为什么是一样的?

这不是从天而降的巧合，而是 Lambert 和 LVR 使用的假设本质上是一致的，自然结论也应当一致。比如

1. set r =0
2. LVR 说的瞬时和 Lambert 单点流动性实质上也是一回事。

one more thing

我们不难发现，iv 公式最后只包含当前流动性和交易量两个变量。难道做市范围 (0.5,1.5) 的头寸和 （0.2,2.0) 对波动率的观点是一样的嘛？我们的论文^[4]可能可以解决这个问题。